سال‌ها پس از مرگ زودهنگام یک نابغه ریاضی، ایده‌های او جان تازه‌ای می‌گیرند

در اوایل دهه 2000، یک دانشجوی جوان در دانشگاه هاروارد شروع به ترسیم یک جهان ریاضی عجیب و غریب کرد - جهانی که در آن اشکالی وجود دارند که شهود هندسی را به چالش می‌کشند. نام او مریم میرزاخانی بود و او اولین زنی شد که برنده مدال فیلدز، بالاترین افتخار ریاضیات، شد.

اولین کار او به سطوح "هذلولی" می‌پرداخت. در چنین سطحی، خطوط موازی به جای اینکه در یک فاصله ثابت بمانند، از یکدیگر دور می‌شوند و در هر نقطه، سطح در دو جهت مخالف مانند زین انحنا دارد. اگرچه می‌توانیم سطح یک کره یا دونات را تصور کنیم، سطوح هذلولی دارای خواص هندسی چنان عجیبی هستند که تجسم آنها غیرممکن است. اما درک آنها نیز مهم است، زیرا چنین سطوحی در ریاضیات و حتی نظریه ریسمان فراگیر هستند.

میرزاخانی یک نقشه‌نگار با نفوذ جهان هذلولی بود. او در حالی که هنوز در مقطع تحصیلات تکمیلی بود، تکنیک‌های پیشگامانه‌ای را توسعه داد که به او اجازه داد تا شروع به فهرست‌نویسی این اشکال کند، قبل از اینکه به انقلابی در سایر زمینه‌های تحقیقات ریاضی بپردازد. او امیدوار بود که در آینده به نقشه خود از قلمرو هذلولی بازگردد - تا جزئیات آن را پر کند و اکتشافات جدیدی انجام دهد. اما قبل از اینکه بتواند این کار را انجام دهد، به سرطان سینه مبتلا شد. او در سال 2017، در سن 40 سالگی درگذشت.

دو ریاضیدان از آن زمان به بعد رشته کار او را گرفته‌اند و آن را به درک عمیق‌تری از سطوح هذلولی تبدیل کرده‌اند. در مقاله‌ای که ماه گذشته به صورت آنلاین منتشر شد، نالینی آنانتارامان از دانشگاه استراسبورگ و لورا مونک از دانشگاه بریستول، با تکیه بر تحقیقات میرزاخانی، یک گزاره کلی در مورد سطوح هذلولی معمولی را ثابت کرده‌اند. آنها نشان داده‌اند که سطوحی که زمانی نادر، اگر نگوییم غیرممکن، تصور می‌شدند، در واقع رایج هستند. در واقع، اگر قرار بود یک سطح هذلولی را به طور تصادفی انتخاب کنید، اساساً تضمین می‌شد که دارای ویژگی‌های مهم خاصی باشد.

پیتر سارناک، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، گفت: "این یک نتیجه مهم است." "مطمئناً موارد بیشتری از این نتیجه بیرون خواهد آمد."

این اثر، که هنوز مورد بررسی همتایان قرار نگرفته است، نشان می‌دهد که سطوح هذلولی حتی عجیب‌تر و غیرشهودی‌تر از آن چیزی هستند که هر کسی تصور می‌کرد. همچنین بر میراث ریاضی عظیم میرزاخانی تکیه می‌کند و رویای او را برای روشن کردن این جهان از اشکال غیرقابل تصور دوباره زنده می‌کند.

میرزاخانی در دوران کودکی که در تهران بزرگ شد، یک خواننده حریص بود و امیدوار بود روزی کتاب‌های خودش را بنویسد. اما او در ریاضیات نیز برتری داشت و در نهایت دو مدال طلا در المپیاد بین‌المللی ریاضی، یک رقابت معتبر برای دانش‌آموزان دبیرستانی، کسب کرد. در سال 1999، پس از فارغ‌التحصیلی از دانشگاه صنعتی شریف، برای تحصیلات تکمیلی به هاروارد رفت. در آنجا او عاشق هندسه هذلولی شد. او که یک نقاش مشتاق بود، از چالش تلاش برای درک اشکالی که طبق تعریف قابل ترسیم نبودند، لذت می‌برد.

الکس رایت، ریاضیدان دانشگاه میشیگان و همکار فوق دکترای سابق میرزاخانی، گفت: "یک سطح هذلولی کمی شبیه یک پازل است که می‌توانید آن را به صورت محلی کنار هم قرار دهید، اما هرگز نمی‌توانید آن را در جهان ما به پایان برسانید." به این دلیل است که هر قطعه از پازل به شکل یک زین خمیده است. می‌توانید چند قطعه را کنار هم قرار دهید، اما هرگز به گونه‌ای که سطح را به طور کامل ببندد - حداقل نه در فضای سه‌بعدی مسطح ما. این امر مطالعه سطوح هذلولی را به ویژه دشوار می‌کند. حتی سؤالات اساسی در مورد آنها هنوز باز هستند.

برای درک یک سطح هذلولی، ریاضیدانان حلقه‌های بسته‌ای را که روی آن زندگی می‌کنند، مطالعه می‌کنند. این حلقه‌ها، که ژئودزیک نامیده می‌شوند، در انواع شکل‌ها وجود دارند. برای یک شکل معین، آنها کوتاه‌ترین مسیر ممکن را از یک نقطه به نقطه دیگر در حین بازگشت به نقطه شروع خود، ترسیم می‌کنند. هر چه یک سطح سوراخ‌های بیشتری داشته باشد، ژئودزیک‌های آن متنوع‌تر و پیچیده‌تر می‌شوند. با مطالعه تعداد ژئودزیک‌های متمایز با طول معین در یک سطح، ریاضیدانان می‌توانند شروع به درک شکل کلی سطح کنند.

میرزاخانی شیفته این منحنی‌های دور زننده شد. در بحث با همکارانش، او دائماً آنها را مطرح می‌کرد و خویشتن‌داری معمولش از بین می‌رفت. او اغلب با نفس نفس زدن از ژئودزیک‌ها و اشیاء مرتبط به عنوان شخصیت‌های یک داستان صحبت می‌کرد. کسری رفیعی از دانشگاه تورنتو گفت: "به یاد دارم وقتی او سخنرانی می‌کرد، این دو سؤال را می‌پرسید: چند منحنی وجود دارد و کجا هستند؟"

او در حالی که هنوز در مقطع تحصیلات تکمیلی بود، فرمولی را توسعه داد که به او اجازه می‌داد تخمین بزند که برای هر سطح هذلولی، چند ژئودزیک تا یک طول معین وجود دارد. این فرمول نه تنها به او اجازه داد تا سطوح منفرد را توصیف کند، بلکه او را قادر ساخت تا یک حدس مشهور در نظریه ریسمان را ثابت کند و به او بینشی در مورد اینکه چه نوع سطوح هذلولی را می‌توان ساخت، داد.

پس از اتمام تحصیلات تکمیلی خود، میرزاخانی به پیشرفت‌های بزرگی در هندسه، توپولوژی و سیستم‌های دینامیکی دست یافت. اما او هرگز موضوع پایان‌نامه دکترای خود را فراموش نکرد.

او امیدوار بود که در مورد موجوداتی که در باغ وحش هذلولی که او طبقه‌بندی کرده بود، زندگی می‌کنند، بیشتر بیاموزد. به طور خاص، او می‌خواست درک کند که یک سطح هذلولی معمولی چگونه به نظر می‌رسد. اغلب، ریاضیدانان ابتدا اشیاء - نمودارها، گره‌ها، دنباله‌های اعداد - را که می‌توانند بسازند، مطالعه می‌کنند. اما ساختارهای آنها معمولاً "اصلاً معمولی نیستند"، به گفته برام پتری از دانشگاه سوربن. "ما تمایل داریم چیزهای بسیار خاصی را ترسیم کنیم." یک نمودار، گره یا دنباله معمولی که به طور تصادفی انتخاب شده است، بسیار متفاوت به نظر می‌رسد.

بنابراین میرزاخانی شروع به انتخاب سطوح هذلولی به طور تصادفی و مطالعه خواص آنها کرد. رایت گفت: "او ابزارهای کاملی داشت، بنابراین بسیار طبیعی بود."

اما او قبل از اینکه واقعاً بتواند این خط تحقیق را دنبال کند، درگذشت. مونک گفت: "او واقعاً فقط در حال توسعه ماشین‌آلات بود و سپس وقت استفاده از آن را نداشت."

مونک هرگز فکر نمی‌کرد که او کسی باشد که از جایی که میرزاخانی رها کرده بود، ادامه دهد. در واقع، تا اوایل 20 سالگی، هیچ قصدی برای دنبال کردن شغل تحقیقات ریاضی نداشت. او از کودکی قصد داشت معلم شود، زمانی که برای جلوگیری از بی‌حوصلگی در کلاس‌های ریاضی، به دانش‌آموزان همکلاسی‌اش آموزش می‌داد. او گفت: "من در مدرسه بسیار بدبخت بودم." "من با دستیار معلم بودن خودم را مشغول می‌کردم."

او در یک برنامه کارشناسی ارشد در دانشگاه پاریس-ساکلای ثبت نام کرد، یکی از سه زن در گروه 40 نفره. در نزدیکی پایان آن، او متوجه شد که هر دو زن دیگر نیز قصد دارند دانشگاه را ترک کنند. او گفت که این مهاجرت باعث شد او سوال کند که آیا برنامه‌های آنها منعکس کننده "انتخاب‌ها و خواسته‌های فردی خودمان است، یا اینکه ما بیش از آنچه که متوجه می‌شویم تحت تأثیر قرار گرفته‌ایم از اینکه در محیطی هستیم که در آن بسیار استثنا هستیم." او احساس وظیفه کرد که به دخترانی که قصد داشت به آنها آموزش دهد، به عنوان نمونه‌ای از یک زن موفق در ریاضیات تبدیل شود.

بنابراین او تصمیم گرفت دکترا بگیرد. او به خودش گفت: "حداقل یکی از ما باید این کار را انجام دهد." "در غیر این صورت بسیار غم انگیز است." (بعداً، یکی دیگر از زنان نیز دکترا گرفت.)

مونک به پیشنهاد یکی از اساتیدش با قطار به استراسبورگ رفت تا با نالینی آنانتارامان، یک مشاور احتمالی که مانند میرزاخانی، متخصص در چندین زمینه بود، ملاقات کند. در واقع، آنانتارامان در طول دوران حرفه‌ای خود چندین بار با میرزاخانی ملاقات کرده بود - آنها تقریباً هم سن بودند و به موضوعات مشابهی علاقه داشتند. هر دو نیز اشتیاق زیادی به علوم انسانی داشتند: درست مانند میرزاخانی که تقریباً تحصیلات خود را وقف ادبیات کرده بود، آنانتارامان به عنوان یک پیانیست کلاسیک آموزش دیده بود و مطمئن نبود که وارد موسیقی می‌شود یا ریاضیات.

در سال 2015، هر دو ریاضیدان برای یک ترم به دانشگاه کالیفرنیا، برکلی رفتند. دختر میرزاخانی و پسر آنانتارامان هم سن بودند و این دو ریاضیدان گهگاه در یک زمین بازی محلی ملاقات می‌کردند و در حالی که فرزندانشان بازی می‌کردند، در مورد مادر بودن صحبت می‌کردند.

آنانتارامان می‌دانست که میرزاخانی در اواخر عمر خود شروع به آزمایش سطوح هذلولی تصادفی کرده است. او اکنون امیدوار بود که کار او را توسعه دهد.

یک راه برای توصیف یک سطح هذلولی این است که میزان اتصال آن را اندازه گیری کنیم. تصور کنید که شما یک مورچه هستید که در یک جهت تصادفی روی یک سطح راه می‌روید. اگر مدتی راه بروید، آیا به احتمال مساوی در هر نقطه از سطح قرار می‌گیرید؟ اگر به خوبی متصل باشد، با مسیرهای احتمالی فراوان بین مناطق مختلف آن، پاسخ مثبت است. اما اگر ضعیف متصل باشد - مانند یک دمبل، که از دو منطقه بزرگ تشکیل شده است که توسط یک پل باریک به هم متصل شده‌اند - ممکن است به جای آن مدت زیادی را صرف سرگردانی در یک طرف کنید قبل از اینکه راهی برای عبور به طرف دیگر پیدا کنید.

ریاضیدانان میزان اتصال یک سطح را با استفاده از عددی به نام شکاف طیفی اندازه گیری می‌کنند. هر چه مقدار آن بزرگتر باشد، سطح متصل تر است. اگرچه تجسم سطح هنوز غیرممکن است، شکاف طیفی راهی برای فکر کردن در مورد شکل کلی آن ارائه می‌دهد. رفیعی گفت: "این مانند راهی برای کمی کردن جمله "سطح چگونه به نظر می‌رسد؟" است."

در حالی که شکاف طیفی از نظر تئوری می‌تواند هر مقداری بین 0 و 1/4 باشد، بیشتر سطوح هذلولی که ریاضیدانان توانسته‌اند بسازند، دارای شکاف طیفی نسبتاً کمی هستند. تا سال 2021 نبود که آنها فهمیدند چگونه سطوحی بسازند با هر تعداد سوراخ که دارای بالاترین شکاف طیفی ممکن بودند - یعنی سطوحی که حداکثر متصل بودند.

اما حتی اگر سطوح هذلولی شناخته شده نسبتاً کمی با شکاف طیفی بالا وجود داشته باشد، ریاضیدانان مشکوک هستند که آنها رایج هستند. یک جهان وسیع و تا حد زیادی ناشناخته از سطوح هذلولی وجود دارد. در حالی که ریاضیدانان معمولاً نمی‌توانند سطوح منفرد را در این جهان بسازند، امیدوارند که خواص کلی یک سطح معمولی را درک کنند. و وقتی آنها به جمعیت سطوح هذلولی به عنوان یک کل نگاه می‌کنند، انتظار دارند که بیشتر آنها دارای شکاف طیفی 1/4 باشند.

این مشکلی است که آنانتارامان امیدوار بود به دانشجوی جدید خود واگذار کند. مونک که مشتاق بود از نزدیک با یک مربی زن کار کند و اهداف بلندپروازانه‌ای برای خود تعیین کند - او به یاد می‌آورد که فکر می‌کرد "اگر می‌خواهم دکترا بگیرم، واقعاً آن را انجام خواهم داد" - ثبت نام کرد.

آنانتارامان و مونک می‌دانستند که شکاف طیفی برای 100٪ سطوح هذلولی از نظر ریاضی غیرممکن است که به طور رسمی ثابت شود - فقط می‌توانستند این را برای درصد نزدیک به 100 ثابت کنند. اما در واقع، آنها نشان دادند که برای هر تعداد نزدیک به 100٪، آن درصد از سطوح دارای بالاترین اتصال ممکن هستند.

پتری گفت: "آنها اساساً نشان می‌دهند که هر سطحی که می‌گیرید دارای شکاف طیفی بزرگ است."

اثبات آنها از کار قبلی خود آنانتارامان تکیه داشت. در سال 2008، آنانتارامان و هروه سیلبرمن با هم یک ارتباط عمیق بین سیستم‌های دینامیکی، که با نحوه تغییر سیستم‌ها در طول زمان سروکار دارند، و نظریه اعداد ایجاد کردند.

این دو در اثبات خود نشان دادند که توابع ویژه‌ای که میزان پیوستگی یک سطح را توصیف می‌کنند، چگونه در طول زمان در سراسر آن پخش می‌شوند. آنها نشان دادند که در حین انتشار، "انرژی" تابع ویژه در هیچ ناحیه‌ای از سطح متمرکز نمی‌شود - در عوض، به طور یکنواخت پخش می‌شود.

آنانتارامان و مونک باهم از این ارتباط برای درک چگونگی رشد ژئودزیک‌ها در سطح هذلولی تصادفی استفاده کردند. آنها با مطالعه نحوه توزیع ژئودزیک‌ها بر روی سطح، می‌توانستند ارتباطاتی بین ژئودزیک‌ها و شکاف طیفی ایجاد کنند. این به آنها اجازه داد تا نتیجه بگیرند که یک سطح معمولی از نظر بسیار خوب متصل است.

پتری گفت: "ریاضیدانان در حال حاضر از نحوه توزیع ژئودزیک‌ها برای مطالعه خواص طیفی سطوح هذلولی استفاده کرده‌اند." "آنچه آنانتارامان و مونک اینجا به ما می‌گویند این است که اگر سطح را به طور تصادفی انتخاب کنید، این ایده حتی بیشتر کارساز است."

مونک در حالی که روی اثبات کار می‌کرد، احساس کرد که نوعی ارتباط با میرزاخانی برقرار کرده است. او گفت: "همیشه این احساس را دارم که وقتی با شخصی ملاقات نمی‌کنید، با کار با او ملاقات می‌کنید."

این دو ریاضیدان مشتاق هستند که اکنون از کاری که انجام داده‌اند به عنوان گامی برای پاسخ دادن به سؤالات دیگر استفاده کنند. مونک می‌خواهد کار خود را برای درک توزیع ژئودزیک‌ها با "خود تقاطع" اعمال کند - یعنی زمانی که آنها با خود تلاقی می‌کنند. به طور کلی، او امیدوار است که در این زمینه تحقیق کند، به دانشجویان بیاموزد و به عنوان یک نمونه برای دیگر زنان در ریاضیات عمل کند.

آنانتارامان گفت: "این اثبات نقطه پایانی نیست، بلکه نقطه شروع است."