هفته گذشته، اوپنایآی راهحلی پیشنهادی برای «معادله ناویه-استوکس» ارائه کرد؛ یکی از هفت مسئله مشهور جایزه هزاره که توسط موسسه ریاضیات کلی انتخاب شده و سالها ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده بود.
برای هر یک از این مسائل پاداشی یک میلیون دلاری در نظر گرفته شده است. اگر راهحل اوپنایآی تأیید شود، این شرکت تنها دومین مسئله جایزه هزاره را حل خواهد کرد که تاکنون موفق به حل آن شده است (حدس پوانکاره).
خوب است. امیدوارم فرضیه ریمان، مسئله بعدیای باشد که هوش مصنوعی فتح میکند.
من نمیخواهم بگویم که این مسائل باز مشهور بیاهمیت یا بیفایده هستند؛ در واقع، مسائل جایزه هزاره به دلیل اهمیت ریاضی خود انتخاب شدند. معادله ناویه-استوکس نحوه جریان یافتن سیالاتی مانند آب و هوا را توصیف میکند.
با این حال، جایگاه فرهنگی آنها اجازه داده است که فراتر از اهمیت ریاضی خود رشد کنند. آنها به یادمانهای رشته ما تبدیل شدهاند. این یادمانها با دلایل خوبی ساخته شدند و واقعاً تحسینبرانگیزند، اما اکنون دامنه ریاضیات مدرن را پنهان کردهاند.
ریاضیات درباره شناسایی الگوها، اختراع تعاریف، ساخت مدلها، اتصال ایدهها و همکاری است. به عنوان یک ریاضیدان، کار من بر کشف ساختار پنهان در دادهها و شرایطی که منجر به ظهور و تداوم الگوهای موضعی در معادلات غیرخطی میشوند، متمرکز است.
چشمانداز ریاضیات مدرن بسیار گستردهتر از شناسایی یک مسئله قدیمی و صرف تمام عمر برای حل آن است.
ریاضیات، رمز و راز، هیجان و شهرت
جایگاه مسائل جایزه هزاره به عنوان یادمانها از یک حلقه بازخورد ناشی میشود. ابتدا یک مسئله در یک زیرشاخه شناسایی میشود. ریاضیدانان بزرگ تلاش میکنند آن را حل کنند و بارها شکست میخورند. کتابها، کنفرانسها، جوایز، مرورهای تاریخی و تلاشهای ناموفق عمومیسازی شده، این یادمان را به افسانهای عظیم تبدیل میکنند.
دانشجویان نام مسئله و افرادی را که روی آن کار کردهاند یاد میگیرند. با گذشت زمان، اعتبار آن تثبیت میشود و توجه و استعداد بیشتری را جذب میکند. تاریخچه انباشته شده — شامل دههها شخصیتهای درخشان، تلاشهای شجاعانه اما ناموفق، رمز و راز، هیجان و شهرت — خود به شاهدی بر اهمیت مسئله تبدیل میشود. این حلقه بازخورد در اقتصاد توجه جدید ما نیز ادامه یافته است.
این مسائل وعده قهرمان شدن را میدهند: تبدیل شدن به آیزاک نیوتن بعدی. ریاضیدانان جوان با تلاش برای حل آنها آرزوی جاودانگی فکری دارند. علاقهمندان غیرمتخصص خیالپردازی میکنند که یک ترفند نبوغآمیز کشف کنند که نسلها متخصصان از آن غافل ماندهاند.
حدس کولاتز (Collatz conjecture) که هم قابل فهم است و هم سرسخت — و میپرسد آیا تکرار دو عمل حسابی ساده در نهایت هر عدد صحیح مثبت را به ۱ تبدیل میکند یا خیر — به نمونهای طنزآمیز از افراط تبدیل شده است. این حدس حتی انجمن هواداران مخصوص به خود را دارد و هم علاقهمندان مشتاق و هم متخصصان برتر جهان را جذب میکند.
چشمانداز ریاضیات مدرن
ریاضیدانان امروز علاقهمند به بررسی ساختار، انتزاع، طبقهبندی، اتصالات و توضیحات هستند. ویژگی مهم ریاضیات مدرن این است که یک سؤال واحد میتواند کل برنامههای تحقیقاتی را ایجاد کند — بدون هیچ جام قهرمانی در پایان راه.
مثالی از کار خود من پرسش درباره چگونگی و چرایی تشکیل الگوها در سیستمهای غیرخطی است؛ حوزهای تحقیقاتی که به کارهای پیشگام ریاضیدان بریتانیایی آلن تورینگ بازمیگردد.
نوارها، لکهها، ششضلعیها و سایر الگوهای خودسازماندهنده نقش پررنگی در سیالات، اپتیک، زیستشناسی، علم مواد و موارد دیگر دارند. کشفیات ریاضی بر این موضوع متمرکز بودهاند که کدام مدلها، تحت چه شرایطی و چرا، کدام الگوها را تولید میکنند.
این کار زمینههای مختلف ریاضیات را گرد هم میآورد، از جمله تحلیل، محاسبات، هندسه و روشهای کمکرایانهای. در پایان هیچ «حدس تشکیل الگو» وجود ندارد — هیچ پاسخ بله یا خیر سادهای که ماجرا را تمام کند.
انفجار دادهها فرصتهای بیشتری را برای کاوش و پیشرفت ریاضی فراهم کرده است. سؤالات اصلی حول شناسایی ساختار پنهان در دادهها میچرخند. کار خود من تلاش میکند سازماندهی ساختاری و ویژگیهای آماری مجموعه دادههای آشوبناک را بدون تکیه بر دانش معادلات تولیدکننده آنها شناسایی کند.
اینها تنها دو مثال کوچک از موزاییک گسترده تحقیقات ریاضی هستند. من هنگام شنیدن درباره کار همکارانم در زمینههای هندسه، احتمال، بهینهسازی، محاسبات و حوزههایی که تقریباً از وجود آنها بیخبر بودم، الهام میگیرم.
آنچه بسیاری از این کارها را به هم متصل میکند، رؤیای حل مسائل بزرگ باز ریاضیات نیست، بلکه توسعه ساختارها و الگوریتمهای انتزاعی جدید و کشف سؤالات تازه است.
هوش مصنوعی در حال غارت ویترین جوایز است
بدون شک، مسائل بزرگ میتوانند ریاضیات بزرگ تولید کنند. برای مثال، ریاضیدان روسی گرگوری پرلمان، هنگام حل حدس پوانکاره — تنها مسئله جایزه هزاره که توسط انسان حل شده است — ایدههای جدید حیاتی به نظریه جریان ریچی ریچارد همیلتون افزود.
اما اگر ارزش این مسائل در نظریهها، روشها و اتصالات جدیدی باشد که در حین تلاش برای حل آنها تولید میشود، شاید راهحلها و جوایز بیش از حد مورد تأکید فرهنگی قرار گرفته باشند.
در همین حال، شرکتهای هوش مصنوعی متوجه ویترین جوایز ما شدهاند و در حال غارت آن هستند. اوپنایآی ادعا میکند که نتیجه ناویه-استوکس خود را در حدود ۸۸ ساعت (به همراه ۱۷ ساعت اضافی برای رسمیسازی و تأیید) به دست آورده است.
تریستان باکماستر، استاد ریاضیات دانشگاه نیویورک، مدعی شد که با همکارش لوونت آلپوژه، ریاضیدان از رقابتی اصلی اوپنایآی یعنی آنتروپیک، به اثبات معادله ناویه-استوکس نزدیک شده بودند. سپس اوپنایآی از این موضوع باخبر شد و ۱۰,۰۰۰ عامل هوش مصنوعی (تحت نظارت تیم کوچکی از انسانها) و تخمیناً ۱۵ میلیون دلار آمریکا را به سمت مسئله پرتاب کرد.
هفته گذشته، آنتروپیک «اولین اثبات کامل راستیآزماییشده کامپیوتری برای آخرین قضیه فرما» را به اشتراک گذاشت که کلود (Claude) در ۱۱ روز آن را تکمیل کرد. سایر ریاضیدانان سالها بود که روی این موضوع کار میکردند.
بنابراین، ممکن است دره سیلیکون (Silicon Valley) با تبدیل شکار جوایز ریاضی به یک ورزش، پایان آن را رقم بزند.
ریاضیات فراتر از یادمانهایش است
پس برای ریاضیدان انسانی چه چیزی باقی میماند؟ از دیدگاه من، اگر پاسخها فراوان شوند، آنگاه قضاوت درباره اینکه کدام سؤالات شایسته توجه هستند، به منبع کمیاب فکری تبدیل میشود.
هوش مصنوعی ممکن است بتواند حدسها را تولید و مسائل را پیشنهاد کند، اما اینکه کدام ریاضیات باید اهمیت داشته باشد، یک قضاوت ارزشی برای جامعه است.
من همچنان امیدوارم که هوش مصنوعی فرضیه ریمان را حل کند. امیدوارم مشخص کند که آیا P برابر با NP است یا خیر — مسئله دیگری از جایزه هزاره. من بیش از حد خوشحال خواهم شد اگر ببینم حدس کولاتز از رنج خلاص میشود. این به این دلیل نیست که من نسبت به این مسائل بیاحترامی میکنم. این به این دلیل است که من ریاضیات را دوست دارم و فکر میکنم آن بسیار فراتر از یادمانهایش است.